Mértékelmélet [eKönyv: pdf]

"Könyvem megírásakor az volt a fő célom, hogy egységes formába öntsem a mértékelméletnek azt a részét, amely az utóbbi évek tapasztalata szerint a modern analízisben a legtöbb alkalmazásra talált. Ha célomat elértem, akkor könyvemet az egyetemi hallgatók tankönyvként, a matematikában jártasabb olvasók pedig hivatkozási forrásként használhatják.Megkíséreltem az új és ritkán használt fogalmak, ill. jelölések minimumra csökkentését. Amikor eltértem a mértékelmélet irodalmában szokásos jelölésrendszertől, legtöbb esetben az volt a célom, hogy összhangba hozzam azt a matematika más ágaiban használt jelölésrendszerrel. Algebrai szemszögből nézve például ésszerűnek látszott bizonyos halmazosztályok esetén a ""háló"" és ""gyűrű"" fogalmának használata, ezek az elnevezések meggyőzőbbnek tűnnek a Hausdorff által javasolt ""gyűrű"" és ""mező"" elnevezéseknél.Az egyetlen előismeret, amelyet a könyv első hét fejezetének olvasása megkövetel, az az elemi algebra-, ill. analízis anyag, amelyet az Egyesült Államok tudományegyetemein az első négy szemeszteren tanítanak. A könyv olvasásának megkönnyítése céljából a 0.-ban részletesen felsorolom, hogy a különböző fejezetekben milyen előismereteket tételeztem fel. Szeretném a kezdő olvasó figyelmét felhívni arra, hogy a 0. § végén olyan fogalmak és jelölések is előfordulnak, amelyeket csak később, az első hét fejezet során definiálok, ezért senki ne veszítse el kedvét, ha a 0.§ első olvasásakor úgy találja, hogy nincsenek meg a kellő előismeretei az Előismeretek olvasásához. Majdnem minden szakasz végén feladatokat találunk, amelyeket néha kérdés formájában fogalmaztunk meg; ezek legtöbbször azonban olyan állításokat tartalmaznak, amelyeknek bizonyítása az olvasóra vár. A feladatok úgy tekintendők, mint az eredmények következményei, ill. mint olyan tények, amelyek a formálisan tárgyalt eredményeket új oldalról világítják meg. A feladatok a könyvnek szerves részei; köztük nemcsak azok a példák és ellenpéldák szerepelnek, amelyek az elmélet megértéséhez nélkülözhetetlenek, hanem definíciók és fogalmak is, sőt esetenként olyan elméleti eredmények is, amelyek nemrég még a kutatás tárgyai voltak."