Középiskolai matematikai lapok 1965/2. [antikvár]

Az 1964. évi Arany Dániel tanulóversenyek II. fordulóján kitűzött feladatok megoldása (haladók versenye) AJ Az általános verseny feladatai: . 1. feladat. Egy hatjegyű négyzetszámot három kétjegyű számra vágunk szét. A két szélső kétjegyű szám egyenlő, a középső pedig a fele ezek egyikének. Melyik e hatjegyű négyzetszám? Megoldás. Legyen a kérdéses négyzetszám n^ és jelöljük a középső két jegyéből alkotott számot x-szel. így a két szélső kétjegyű szám 2x, ezért 10 á 2a; < 100, és így (1) 5^x< 50, másrészt n^ = 2x'10^ + X - 102 4- 2a; = 20 102a; = 2 • 19 • 23^ • a;. Egy négyzetszámot különböző törzsszámok hatványainak szorzataként előáUítva minden kitevő páros. Ezért x ilyen előállításában a 2 és 19 törzsszámok páratlan kitevővel szerepelnek, s így a kitevőjük legalább 1, , viszont minden más törzsszámhatványban páros szám a kitevő. Eszerint 2 és 19 első hatványát különválasztva, a többieket pedig összefoglalva x így írható: a; = 2 • 19 • = 38k^ és így = (2 • 19 • 23 • k)\ ahol k egész szám. (1) csak i = 1 esetén teljesül, így az egyetlen lehetséges megoldás: = (2 • 19 • 23)2 8742 ^^ 753 876. Ez valóban meg is felel a feladat követelményeinek. 2. feladat. Oldjuk níieg a következő egyenletet: X (2) Vx 4- /a; - fa; - = 5 , ^ a; -f ya; Megoldás. Ahhoz, hogy az egj^nletben szereplő kifejezéseknek értelme legyen, kell, hogy x> 0, továbbá x — 'fx^Q legyen. Az utóbbi pozitív a;-re akkor és csak akkor teljesül, ha (3) a; ^ 1. Uyen a;-ekre a jobb oldali négyzetgyökös kifejezéssel végig oszthatjuk (2)-t, az egyenlet 1-nél nem kisebb a;-ekre akkor és csak akkor teljesül, ha fx = l-ix-l = in*"