Középiskolai matematikai lapok 1965/5. [antikvár]

Az 1261. feladat egy megoldása Az 1261. feladat^ tetszés szerinti háromszögre fogalmazva az ABC háromszög megszerkesztését kívánta, ha adott a p = AB + BC és a g- = AB + AC szakasz, továbbá a y = ACB'^. Az alábbiakban egy olyan megoldást mutatunk be, amelyik csupán az I. gimnázium tananyagára támaszkodik, a hasonlóság fogalmát sem használja feP, viszont nem könnyű belátni, hogy valóban a kívánt tulajdonságú háromszöget kapunk. Ennek bizonyítását feladatul fogjuk kitűzni®. Az áttekinthetőség kedvéért tegyük fel, hogy ha a két távolság különböző, a kisebbet jelöltük p-vel. Ez nem jelent megszorítást. Mérjük rá a CA oldal ^-n túli és a CB oldal .B-n túli meghosszabbítására az AB' = BA' = AB távolságot, jelöljük A A' és BB' metszéspontját/-vei. Ekkor A'C = p, B'C = q, és az ABB' és AB A' egyenlő szárú háromszögek szárai alkotta külső szögek az ABC háromszög BAC< = a és ABC< = = ^ szöge. Így ABB'< = AB'B< = ^. 2 ¦ BAA'< = BA'A^ -=1-, továbbá A'IB'< = AIB< = 180° — 2-^2) 90' ^ 2 Húzzunk másrészt párhuzamost .4-ból BC-yel és B-hől AC-ybI, metszéspontjuk legyen D. Ekkor ABD-^^ = a, BAD< = így .47 és BI az ABD hárpmszög szögfelezői, tehát Dl is felezi a D-nél levő y nagyságú szöget, mert a harmadik szögfelező is átmegy 7-n. Jelöljük AC és Dl metszéspontját E-Yel. Ekkor AED< = EDB-^ = y/2 = EDA^, tehát az ADE háromszög egyenlő szárú, így CE = CA — EA = CA — AD = CA—CB = = {CA -f AB) — {CB + AB)= q — p. ^Lásd 198. old. 2 Hasonlóan a közölt III. megoldáshoz, 200. old. ® Lásd 1398. feladat, 222. old. in*"