Matematikai Lapok 2016/1. [antikvár]

Részlet: SZAMTANI SOROZATOT NEM TARTALMAZÓ HALMAZOK PACH PÉTER PÁL 1. Bevezetés Ebben a cikkben a polinommódszer egy újszerű alkalmazását mutatjuk be, melynek segítségével bizonyos csoportokban háromtagú számtani sorozatot nem tartalmazó halmazok elemszámára a korábbiaknál lényegesen erösebb felső korlát adliató, továbbá a módszernek az elmúlt hónapokban már más alkalmazásai is születtek. Az egyik ilyen eredmény a népszerű SET játék sokdimenziós változatához kapcsolódik. A SET játékot 81 kártyalappal játsszák, mindegyiken egy, kettő vagy három szimbólum szerepel, ami háromféle lehet, a színére szintén három lehetőség van, és a kitöltés módja is háromféle lehet. Mindegyik kombinációhoz pontosan egy kártyalap tartozik, így adódik a = 81 kártyából álló készlet. Három kártya „set"-et alkot, ha mind a négyféle tulajdonságra (darabszám, forma, szín, kitöltés) teljesül, hogy az adott tulajdonságra vagy mindhárom lapon egyforma, vagy az adott tulajdonságra mindhárom lapon különböző. A játékot hagyományosan úgy játsszák, hogy 12 kártyalapot kitesznek az asztalra, és a játékosok célja set-et taláhii a lapok között. Elképzelhető ugyanakkor, hogy 12 lap közül semelyik három nem alkot set-et, ebben az esetben — miután hosszas szemlélődés után sem talál senki sem set-et - újabb lapokat helyeznek az asztalra a már ottlévő lapok mellé. Természetesen vetődik fel a kérdés, hogy legfeljebb hány lap esetén képzelhető el az, hogy közülük semelyik három nem alkot set-et. Pellegriiio [10] bebizonyította, hogy a kérdésre a válasz: 20. Ha a SET játékot úgy módosítjuk, hogy ne csak 4, hanem n tulajdonság legyen, akkor a kérdés valójában úgy is megfogalmazható, hogy a három elemű test feletti n-dimenziós vektortérben, vagyis FJ-ben legfeljebb hány vektor választható ki úgy, hogj' semelyik háromra ne teljesüljön, hogy akárhanyadik koordinátáikat is tekintjük, vagy három egyforma, vagy három különböző értéket látunk. Ezzel szintén ekvivalens, ha azt követeljük meg, hogy semelyik három kiválasztott vektor összege ne legyen 0, vagy azt, hogy ne tartalmazzon (affin) egyenest a halmaz. Az eddigiekkel szinten egyenértékű - FJ' eseteben - az, hogy semelyik három elem ne alkosson számtani sorozatot. Ebben a cikkben ezt a legutóbbi átfogalmazást fogjuk vizsgálni, vagyis számtani sorozatot nem tartahnazó részhahuazok elemszámára mutatunk majd felső becslést; azonban mielőtt rátérnénk Fg^-re, a kérdést a ZJ csoport esetében fogjuk