Absolute Algebra [antikvár]

William S. Hatcher - Stephen Whitney Absolute Algebra This work develops a totally type-free approach to universal algebra which strictly generalizes the traditional type-based approach. We construct categories Alg, Abs, and Diag whose objects are certain algebraic structures and whose morphisms are defined in a distinct and appropriate way. Every category of t-algebras, for any given type t, can be canonically embedded in Alg. Furthermore, Diag is reflective in Abs which is reflective in Alg, and in each case the reflexion functor lifts these canonical embeddings. The internal structure of these categories is examined, as well as is their mutual relationship and their relationship to other algebraic categories. We develop in detail a first-order language whose category of standard models is precisely Diag. The primitive notions of this language are category-theoretic, making no use of set membership. Yet, eVery algebraic notion can be axiomatized within it. Finally, detailed examination of the relationship between classic theory of monads and the present theory is given. In dieser Arbeit wird ein völlig typenfreier Zugang zur universellen Algebra entwickelt, der den üblichen, auf Typen aufgebauten Zugang verallgemeinert. Wir konstruieren Kategorien, Alg, Abs und Diag, deren Objekte gewisse algebraische Struk-turen sind, und deren Morphismen in geeigneter Weise definiert sind. Jede Kategorie von x-Algebren kann für jeden beliebigen Typ t in Alg kanonisch eingebettet werden. Weiter ist Diag reflektiv in Abs, das wiederum reflektiv in Alg ist, und in jedem der beiden Fälle erweitert der Reflexionsfunktor diese kanonischen Einbettungen. Die innere Struktur dieser Kategorien, sowie ihre gegenseitigen Beziehungen untereinander als auch ihre Beziehungen mit anderen algebraischen Kategorien wird untersucht. Wir entwickeln ausführlich eine Sprache erster Ordnung, deren Kategorie von Standard-Modellen genau Diag darstellt. Die primitiven Begriffe dieser Sprache sind kategorientheoretisch und benutzen keine Mengenzugehörigkeit. Dennoch kann jeder algebraische Begriff darin axiomatisiert werden. Schließlich wird die Beziehung zwischen der klassischen Theorie der Monaden und unserer Theorie ausführlich untersucht .