Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs V. [antikvár]

Variationsrechnung. § 1. Problemstellung. Die Grundprobleme der Variationsreclinung sind Maxima- und Minimaaufgaben, jedoch von etwas anderer Art als jene, mit denen wir es in der Differentialrechnung zu tun hatten. Bisher war immer eine Funktion von einer oder mehreren Veränderlichen gegeben, und es handelte sich darum, diejenigen WeAe oder Wertepaare oder Wertetripel der unabhängigen Veränderlichen zu finden, für die die gegebene Funktion einen größten oder kleinsten Wert im Vergleich zu den Werten in der nächsten Umgebung annahm. In der Variationsrechnung tritt an die Stelle der Punktion ein Integral mit bestimmten Grenzen und an die Stelle der Variablen treten Funktionen im Integranden, bei deren Abänderung sich der Integralwert ändert, und die Aufgabe besteht nun darin, diejenigen Funktionen zu ermitteln, für die das Integral einen größten oder kleinsten Wert hat. Ist z. B. die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes in irgendeinem Medium nicht überall die gleiche, sondern vom Orte abhängig, v = v{x,y,z), so ist die Zeit, die das Licht braucht, um von einem gegegebenen Funkte des Raumes zu einem anderen gegebenen Punkte jj zu kommen, von dem Wege j = j(t), den es nimmt, abhängig. Die Frage der Variationsrechnung lautet nun: Auf welchem Wege kommt das Licht am schnellsten zum Ziele? Diesen nimmt es dann. Mathematiscii formuliert lautet die Frage: Für welchen Weg j = j(i) ist das s> Cd s Integral I— ein Minimum? Denn da die Geschwindigkeit gleich Weg durch Zeit ist, El so ist umgekehrt die gebrauchte Zeit gleich Weg durch Geschwindigkeit. In Koordinaten geschrieben, beißt die Forderung: rc = x{t) + + dt Min! Gesucht: ^ = z{t) Hierin muß der Parameter t nicht die Zeit bedeuten, er kann vielmehr irgendein Parameter sein, mit dessen Hilfe sich die zur Konkurrenz zugelassenen Kurven, die durch die Punkte jj und jj hindurchlaufen, in der Form j = j(<) analytisch darstellen lassen. Da die Wahl des Parameters t willkürlich und für das Problem belanglos ist, könnte man statt der Grenzen ij und t^ auch die Grenzen 0 und 1 an das Integral schreiben. Es wäre dadurch die Parameterwahl nur insoweit eingeengt, als jetzt bei allen Formulierungen der zugelassenen Kurven j = j(i) beim Punkte jj die i-Marke Null und beim Punkte jg die i-Marke Eins stehen müßte. Will man sich von der Unbestimmtheit, die die Parameterdarstellung mit sich bringt, befreien, so kann man jederzeit x (oder y oder g) als unabhängigen Parameter wählen. Unser obiges Problem bekäme dann die Form: ¦t« F ¦T,_____________ '-j- d x = Min: Gesucht: y = S = 2(X) Baule V : Variationsrechnung.