Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs VII. [antikvár]

Differentialgeometrie. A. Kurventheorie. § 1. Die Bogenlange einer Raumkurve. Eiiie Raumkurve kann analytisch entweder in Parameterform.: í *(<) E = EW = {y(«) oder als Schnitt zweier Fláchen: F(i) = F(x, y, z) = 0 G(E) = ö(», y,z) = 0 gegeben werden. Die vorkommenden Funktionen setzen wir als eindeutig und bélié big oft differenzierbar voraus. Von der letzteren Darstellung gelangt man zur ersteren, indem man statt x den Parameter í oder auch eine beliebige Funktion x(t) einführt und die beiden Gleichungen nach í/und z auflöst; vorausgesetzt, daB dies geht. Oft wird eine Raumkurve auch»in der Form { V = y{*) \ z = z(x) gegeben, das heiBt durch ihre Projektion in zwei'der Koordinatenebenen oder, anders ausgedrückt, durch zwéi Risse. Eine Parameterform einer auf die letztere Art gegebenen Raumkurve ist ? = \y{t). \z(t) Deutet man den Parameter t als Zeit (er kann natürlich nebenher auch eine geo-metrische Bedeutung habén), so habén wir die Bewegung eines Punktes im Raum. Die geometrische GröBe, die der Parameter etwa vorstellt (Bogenlange, Abstand von einer Ebene, Winkel), wáchst dann ebenso an, wie der Sekundenzeiger unserer Uhr weiterrückt. Die ílaumkurve ist durch die Hinzunahme der Zeit zu einer Bahnkurve geworden. Wir werden uns im folgenden zur Beschreibung von Raumkurven immer der Parameterform bedienen. Die Bedeutung des Parameters lassen wir im allgemeinen offen, womit nicht gesagt ist, daB wir nicht bei der Behandlung besonderer Probleme dem Parameter eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung vorschreiben werden. Beispiel 1: Die Kurve ( a cos í E = < a sin t [bt ist eine (gemeine) Schraubenlinie auf dem Zylinder x2 + ?/2 = a2. Ihre Ganghöfie ist 2nb. Denn wáhrend t von 0 bis "2ji wachst und die Projektion des in der Schraubenlinie wandernden Punktes in der x y-Ebene gerade einmal den Kreis x2 y2 = a2 durchláuft, wáchst die Koordinate z des Kurvenpunktes um 2nb an. Der Parameter t hat hier die geometrische Bedeutung: Winkel des Achsenradius gegen die x-Richtung. Deutet man t nebenher als Zeit, so uinláuft ein ins Auge gefaBter Kurvenpunkt in 2tc Sekunden einmal die Zylinderachse, wáhrend er gleichzeitig um das Stück 2nb auf dem Zylinder in die Höhe steigt. 1 B a u 1 e , Mathematik VII. 3. Aufl.