Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs VII. [antikvár]

Differentialgeometrie. ^ A. Kurventheorie. § 1. Die Bogenlänge einer Raumknrve. Eine Raumkurve kann analytisch entweder in Parameterform: x(t) i = i(i) = y(t) oder als Schnitt zweier Flächen: ¦F(i)^F{x, =0 G(i)^Q(x, 2/,2) = 0 gegeben werden. Die vorkommenden Funktionen setzen wir als eindeutig und beliebig oft differenzierbar voraus. Von der letzteren Darstellung gelangt man zur ersteren, indem m^n statt x den Parameter t oder auch eine beliebige Funktion x(t) einführt und die beiden Gleichungen nach »/und z auflöst; vorausgesetzt, daß dies geht. Oft wird eine Raumkurve auch in der Form \y=y{x) 1 z = z{x) gegeben, das heißt durch ihre Projektion in zwei der Koordinatenebenen oder, anders ausgedrückt, durch zwei Risse. Eine Parameterform einer auf die letztere Art gegebenen Raumkurve ist t i = \y{t)- z(t) Deutet man den Parameter t als Zeit (er kann natürlich nebenher auch eine geometrische Bedeutung haben), so haben wir die Bewegung eines Punktes im Raum. Die geometrische Größe, die der Parameter etwa vorstellt (Bogenlänge, Abstand von einer Ebene, 'Kinkel), wächst dann ebenso an, wie der Sekundenzeiger unserer Uhr weiterrückt. Die Raumkurve ist durch die Hinzunahme der Zeit zu einer Bahn kurve geworden. Wir werden uns im folgenden zur Beschreibung von Raumkurven immer der Parameterform bedienen. Die Bedeutung des Parameters lassen wir im allgemeinen offen, womit nicht gesagt ist, daß wir nicht bei der Behandlung besonderer Probleme dem Parameter eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung vorschreiben werden. Beispiel 1: Die Kurve I a cos < j = J a sin i [öi ist eine (gemeine) Schraubenlinie auf dem Zylinder + i/^ = a^. Ihre Ganghöiie ist 27ib. Denn während t von 0 bis 27i wächst und die Projektion des in der Schraubenlinie wandernden Punktes in der xy-Ebene gerade einmal den Kreis x^ y^ = a^ durchläuft, wächst die Koordinate z des Kurvenpunktes um 27cb an. »Der Parameter t hat hier die geometrische Bedeutung: Winkel des Achsenradius gegen die a;-Richtung. Deutet man t nebenher als Zeit, so umläuft ein ins Auge gefaßter Kurvenpunkt in 2:71 Sekunden einmal die Zylinderachse, während er gleichzeitig um das Stück 2nf> auf dem Zylinder in die Höhe steigt. 1 B a u 1 e , Mathematik VH. 3. Aull.