Eine Feldtheorie der Versetzungen im Cosserat-Kontinuum [antikvár]

Sondcrabdruck aus der ZEITSCHRIFT FÜR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND PHYSIK (ZAMP) Vol. 20, Fasc. 6 (1969) birkhauser verlag basel Seiten 891-899 Eine Feldtheorie der Versetzungen im CossERAT-Kontinuum Von Hermann Schaefer, Technische Universitát Carolo-Wilhelmina, Braunschweig, Deutschland 1. Einleitung In dieser Abhandlung soll eine Fragestellung erörtert werden, die in der Kontinuumsmechanik der Versetzungen zu einer Beantwortung drángt. Ein sich bewegendes und sich deformierendes Kontinuum mit wandernden Versetzungen ist durch folgende kinematische Grössen charakterisiert: Geschwindigkeits- und Deformationszustand seiner Volumelemente, Versetzungsdichte und Versetzungsstromdichte (die in ein Volumelement pro Zeiteinheit einwandernden Versetzungen). Unsere Frage lautet: Welche «Kráfte» sind diesen kinematischen Grössen zugeordnet? Man weiss, dass Impuls p und Spannung o mit Geschwindigkeit v und Deformation e die Leistungsdichten p V und a L bilden. Welche Leistungsdichten sind aber Versetzung und Versetzungsstrom zugeordnet? Erst wenn diese Frage geklárt ist, kann die náchste Fragestellung nach den Materialgesetzen (constitutive equations) zwischen «Kráften» und kinematischen Grössen in Angriff genommen werden. Die Feldgleichungen der linearen Versetzungstheorie lassen sich in eine Analogie zu den MAXWELLschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes setzen [1]. Diese Analogie bestátigt, dass der bisherigen Versetzungstheorie konstitutive Gleichungen fehlen. Dabei wird auch deutlich, dass eine vollstándige Versetzungstheorie eine andere Struktur besitzen muss als die MAXWELL-LoRENTZsche Theorie. In der Versetzungstheorie stehen Versetzungsfeld und Materiefeld in Wechselwirkung. Das elektromagnetische Feld der LoRENTZschen Theorie steht zwar in Analogie zum Versetzungsfeld, doch gibt es keinen Energie- und Impulsaustausch mit einem Materiefeld im Elektron. Es gibt nur den Vierervektor der LoRENTZ-Kraftdichte. Glücklicherweise besitzen wir in der Elektrodynamik von Mie [2] eine Theorie, die, wesentlich allgemeiner als die LoRENTZsche, elektromagnetisches Feld und Materiefeld im Elektron in Wechselwirkung setzt, hinsichtlich der konstitutiven Gleichungen Klarheit schafft und schliesslich zu einer lagrange-Dichte führt. Diese mehr als 50 Jahre alte MiE-Theorie - eine knappé, aber das Wesentliche hervorhebende Darstellung findet man bei Weyl [3] - ist heute natürlich durch Quantenfeldtheorien überholt. Da aber die Kontinuumstheorie der Versetzungen eine makroskopische Theorie ist im Rahmen der klassischen Mechanik, können wir den Gedankengángen der MiE-Theorie folgen und analóg zu ihr Versetzungsfeld und Materiefeld zu einem gemeinsamen Felde vereinigen, in dem eine Wirkungsgrösse (action) definiert ist, die bei einer infinitesimalen Variation des Feldzustandes stationár bleibt.