Elementare Einführung in die Bessel-, Neumann- und Hankel-Funktionen [antikvár]

VORWORT Das vorliegende Büchlein ist aus einer Reihe von Merkblättern entstanden, die als Ergänzung zu den Vorlesungen über Hochfrequenzteohnik und Werkstoffe und Bauelemente der Nachriohtenteohnik an die Hörer der Technischen Hochschule Darmstadt verteilt wurden. Die Erfahrung hatte gezeigt, daß den Stucherenden meist das für diese Vorlesungen nötige mathematische Rüstzeug auf dem Gebiet der Zylmderfunlitionen fehlt. Die Ursache hierfür dürfte sein, daß spezielle Lehrbücher über dieses Gebiet für den Nichtmathematiker meistens zu schwierig und umfangreich sind, daß andererseits aber elementare Einführungen fehlen. Diese Lücke zu füllen, ist der Sinn dieses Bändchens. Als Ausgangspunkt sind jeweils Beispiele aus Technik und Physik gewählt, die auf Differentialgleichungen führen. Daran schließt sich eine Diskussion der Lösungen dieser Differentialgleichungen an, wobei ein Vergleich mit verwandten Fuiiktionen (Kreis- und Hyperbelfunktionen) und graphische Darstellungen das Vertrautwerden nut diesen Funktionen erleichtern sollen. Für kleine Werte der Veränderlichen sind die Potenzreihen der betreffenden Funlrtionen angegeben, sowohl in ihrer allgemeinen Form als auch für die Funktionen nuUter und erster Ordnung mit ausgerechneten Koeffizienten. Für die Bessel-Funktionen Jo und Ji konnten aus der Integraldarstellung Näherungsformeln hergeleitet werden, die die Winkelfunktionen cos bzw. sin enthalten und eine wesentlich weitergehende Approximation um den Nullpunkt darstellen als die Potenzreihen. Hierdurch ist für Jq und Ji der Anschluß an die aus der Hankeischen Asymptotik gewonnenen Formeln für große Werte der Veränderlichen hergestellt. Bei den asymptotischen Entwicklungen enthalten die hier angeführten Gleichungen gegenüber der sonst üblichen Darstellung mit den beiden Funktionen sin und cos nur ei?ie Winkelfunktion, nämlich die mit dem größeren Koeffizienten. Es handelt sich um eine Darstellung nach Betrag und Phase, die bis zu quadratischen Gliedern in z reicht und für die meisten Anwendungen praktischer ist. Auf diese Weise werden die Besselschen, Neumannsohen und Hankeischen Funktionen von rein-reellem und rein-imaginärem Argument behandelt, die Funktionen mit einem Argument der Form r / sowie Funktionen mit allgemein komplexem Argument, über die bisher wenig explizite Darstellungen vorlagen. Die dabei eingeführten ,,modifizierten Bessel-Funktionen" und ,,Thomson-Funli-tionen" sind zwar keine Zyhnderfunktionen nach der Definition von Nielsen, mögen aber wegen ihrer praktischen Verwendbarkeit nicht unerwähnt bleiben. Ein weiteres Kapitel bringt eine Reihe von Formeln und Beziehungen, die mit der erzeugenden Funktion der Bessel-Funktionen zusammenhängen. Außer den Bessel-Funktionen mit halbzahliger Ordnung werden Bessel-Funktionen mit höherer Ordnung (ra = 2 bis 10) behandelt. Letztere werden graphisch dargestellt und durch einfache Näherungsformeln beschrieben, die von der ersten Nullstelle (außer x = Q) ab für größere Werte von x gültig sind. Diese Funktionen sind bei bestimmten Schaltvorgängen sowie sinusförmiger Frequenzmodulation wichtig. Ein Verzeichnis der wichtigsten Tafelwerke und des Schrifttums bilden den Abschluß. Zu besonderem Dank bin ich Herrn Professor Dr. Ing. habil. O. Zinke verpflichtet, der die Anregung zu diesem Buche gab und die Arbeit daran durch wertvolle Hinweise und Ratschläge förderte. Desgleichen danke ich Herrn Dipl.-Ing. A. Vlcek für das Lesen der Korrekturen. Darmstadt, im Juli 1958. Walther Rehwald