Initiation A La Théorie Des Ensembles [antikvár]

1 INTRODUCTION « En géométrie et en analyse, en calcul différentiel et intégral, on opere en fait, bien que ce soit peut-etre peu apparent, sur des ensembles infinis, » C'est en ces termes que s'exprime F. Hausdorff dans son ouvrage : Fondements de la théorie des ensembles (1914). Il est certain que quiconque veut connaître a fond les diverses branches des mathématiques doit s'assimiler la théorie des ensembles, leur fondement commun. Quels sont, au fond, les objets qu'on étudie en mathématiques ? Ce sont toujours des ensembles de nombres ou des ensembles de points. En général, il s'agit meme d'ensembles infinis, c'est-a-dire d'ensembles comprenant un nombre infini d'objets. Le lecteur demandera peut-etre s'il est possible de soumettre l'infini a l'analyse mathématique, de le réduire a la dépendance de lois mathématiques et de formules. C'est ce qu'on fait pourtant dans la théorie des ensembles. A cet effet, il est nécessaire d'affranchir la notion de l'infini d'idées vagues qui ont leur origine dans nos sensations et de le séparer de l'infini d'autres domaines non mathématiques (l'infini métaphysique). Avant Cantor (1), l'infini était en mathématiques une notion souvent indispensable, mais difficile a ^éîecîH^ Pour Gauss (2) lui-meme, « l'infini n'est qu'une façon de parler puisqu'on parle au sens propre de limites quand certains rapports different d'une quantité déterminée d'aussi peu qu'on veut, tandis que d'autres rapports peuvent croître indéfiniment » (1831). Il rejette « l'emploi d'une grandeur infinie qui n'est jamais permis en mathématiques ». Il admet l'infini seulement (1) Cantor, Georg (1845-1918). (2) Gauss, Karl Friedrich (1777-1855).