Lehrbuch der Mathematik 7. [antikvár]

Wiederholung und Vorschau 5 1 Komplexe Zahlen und Algebraische Gleichungen 1.0 Wiederholung und Vorschau Seit deiner frühen Jugend hast du mit Zahlen gerechnet: Zuerst nur mit natürlichen Zahlen, anfangs vielleicht sogar nur von 1 bis 10, spáter bis 100, usf. Danach hast du gelernt, mit Bruchzahlen und mit Dezimalzahlen zu rechnen, in der 3. Klasse sind die negativen Zahlen „dazugekommen", und in der 4. Klasse die irrationalen Zahlen. lm Vorjahr hast du gelernt, daB schlieBlich die reellen Zahlen einen vollstándigen Zahlkörper bilden. Dabei bedeutet das Wort „vollstándig", daB jeder reellen Zahl (dh. jeder endlichen oder unendlichen Dezimalzahl) ein Punkt der Zahlengeraden entspricht, und daB umgekehrt zu jedem Punkt der Zahlengeraden genau eine reelle Zahl gehört. (Die einzelnen Dezimalen dieser Zahl kann man jeweils z. B. durch Intervallschachtelung schrittweise berechnen.) All diese Zahlbereichserweiterungen wurden notwendig, weil ganz spezielle Probleme in dem jeweils zur Verfügung ste-henden Zahlbereich nicht lösbar waren. So konntest du zwar schon in der Volksschule Rechnungen wie z. B. 8 — 3, 17 — 4, 16:4, 100:4 usw. durchführen, nicht aber z. B. 6-8, 3-7, 12:5, 10:4, usw. Mit anderen Worten: Die Menge der natürlichen Zahlen ist gegenüber der Subtraktion bzw. Division nicht abgeschlossen. Mit noch anderen Worten: Die Gleichungen 6 - 8 = x, 12:5 = x usw. sind in G = N unlösbar. Lösbar sind diese Gleichungen erst in den negativen Zahlen bzw. den Bruchzahlen, was die Erweiterung von N zu Z bzw. zu Q rechtfertigt. Nicht vergessen werden darf bei dieser Gelegenheit, daB diese Erweiterungen ihren „Preis" habén: z. B. besitzt Z im Gegensatz zu N kein kleinstes Element, und in O besitzt x anders als in Z keinen (unmittelbaren) Nachfolger bzw. Vor-gánger, usw. In der 4. Klasse hast du gelernt, daB sich 0, und die Gleichung x2 + 4 = 0 in IR unlösbar. Wollen wir uns aber wirklich damit zufrieden geben zu sagen: Die Gleichung ist unlösbar? Oder sollten wir nicht besser versuchen, den uns derzeit zur Verfügung stehenden Bereich der reellen Zahlen analóg zu oben zu „erweitern", dh. eine „neue Art von Zahlen" hinzuzunehmen? Diese Idee entstand schon vor mehr als 400 Jahren und wurde in der Folge konsequent weitergedacht. Wir wollen im folgenden diese Überlegungen nachvollziehen