Lehrbuch der Mathematik 7. [antikvár]

Komplexe Zahlen und 1 algebraische Gleichungen 1.0 Wiederholung und Vorschau Seit deiner frühen Jugend hast du mit Zahlen gereclinet: zuerst nur mit natürlichen Zahlen, an-fangs vielleicht sogar nur von 1 bis 10, spáter bis 100, usf. Danach hast du gelernt, mit Bruch-zahlen und mit Dezimalzahlen zu rechnen, in der 3. Klasse sind die negativen Zahlen „dazuge-kommen" und in der 4. Klasse die irrationalen Zahlen. Im Vorjahr hast du gelernt, dass schliefi-lich die reellen Zahlen einen vollstandigen Zahlkörper bilden. Dabei bedeutet das Wort „voll-stándig", dass jeder reellen Zahl (dh. jeder endlichen oder unendlichen Dezimalzahl) ein Punkt der Zahlengeraden entspricht. und dass umgekehrt zu jedem Punkt der Zahlengeraden genau eine reelle Zahl gehört. (Die einzelnen Dezimalen dieser Zahl kann man jeweils zB durch Inter-vallschachtelung schrittweise berechnen.) Ali diese Zahlenbereichserweiterungen wurden notwendig, weil ganz spezielle Probleme in dem jeweils zur Verfügung stehenden Zahlenbereich nicht lösbar waren. So konntest du zwar schon in der Volksschule Rechnungen wie zB 8 — 3, 17-4, 16:4, 100:4 usw. durchführen, nicht aber zB 6-8, 3-7, 12:5, 10:4 usw. Mit anderen Worten: Die Menge der natürlichen Zahlen ist gegenüber der Subtraktion bzw. Divi-sion nicht abgeschlossen. Mit noch anderen Worten: Die Gleichungen 6 — 8 = x, 12:5 = x usw. sind in G = N unlösbar. Lösbar sind diese Gleichungen erst in den negativen Zahlen bzw. den Bruchzahlen, was die Erweiterung von N zu Z bzw. N zu Q rechtfertigt. Nicht vergessen werden darf bei dieser Gelegenheit, dass diese Erweiterungen ihren „Preis" habén: zB besitzt Z im Gegensatz zu N kein kleinstes Element, und in Q besitzt x anders als in Z keinen (unmittelbaren) Nachfolger bzw. Vorgánger usw. In der 4. Klasse hast du gelernt, dass sich ^/a, a ^ 0 im Allgemeinen nicht durch eine endliche, aber auch nicht durch eine periodische Dezimalzahl ausdrücken lásst. Allgemeiner: Um der qua-dratischen Gleichung x2 = a mit a G R, a ^ 0 eine Zahl als Lösung zuordnen zu können, musste man - sozusagen als „Preis" dafür - auch unendliche, nicht-periodische Ziffernfolgen als „Zahlen" zulassen, die so genannten irrationalen Zahlen. Diese Zahlenbereicliserweiterung ist jedoch nicht ausreichend, um jeder quadratischen Gleichung eine Lösung zuordnen zu können. Gib Beispiele quadratischer Gleichungen an, welche in R unlösbar sind! Begründe! Ein Beispiel ist etwa x2 + 4 = 0; x2 ist als Quadrat stets ^ 0, somit ist x2 + 4 stets > 0 und die Gleichung x2 + 4 = 0 in R unlösbar. Wollen wir uns aber wirklich damit zufrieden geben zu sagen: Die Gleichung ist unlösbar? Oder sollten wir nicht besser versuchen, den uns derzeit zur Verfügung stehenden Bereich der reellen Zahlen analóg zu oben zu „erweitern", dh. eine „neue Art von Zahlen" hinzuzunehmen? Diese Idee entstand schon vor mehr als 400 Jahren und wurde in der Folge konsequent weitergedacht. Wir wollen im Folgenden diese Überlegungen nachvollziehen NcZcQcR R Q\Z Z Z~ {0} Z+ — N*