Lehrbuch der Mathematik 8. [antikvár]

Exponential- und Logarithmusfunktion 1.0 Wiederholung und Vorschau In der 6. Klasse habén wir die Funktion aexp: R->E+,y = ax,aeR+ als Exponentialfuiiktion mit der Basis a bezeichnet. Neben y = ax ist auch die Schreibweise y=ftexpx üblich. In Fig. 1.1 sind die Graphen von Exponentialfunk-tionen mit verschiedenen Basen dargestellt. Wieder-hole an ihnen die wichtigsten Eigenschaften der Exponentialfunktion ! (Vgl. LB 6. KI. S. 220!) Beachte auch, dass für jede Exponentialfunktion die Funktionalgleichmig y(xi -I- x2) = y(xx) • y(x2) für alle xi, x2 6 R gilt. Zeige dies (Aufg. 10)! Die am háufigsten verwendete Basis ist die EULER'-sche Zahl e, die durch den folgenden Grenzwert defi-niert ist: e= lim n->-oo i + i n. 2,718281828459045 10' e* 2' X 0 1 Fig. 1.1 Die Exponentialfunktion mit der Basis e wird natürliche Exponentialfunktion genannt. Statt y eexpx schreibt man meist nur y = expx bzw. y = ex. Wir wollen nun im Folgenden (Kap. 1.1) zeigen, dass dieser Grenzwert überhaupt. existiert (in der 6. Klasse wurde dies nur behaupt.et und plausibel gemacht), und insbesondere die Ableitung der Exponentialfunktion herleiten. Aus dieser ist dann leicht, zu erkennen, warum meist e als Basis einer Exponentialfunktion gewáhlt wird. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion alog: R+ —> R, y = alogx aeR+\{l} Wiederhole die wichtigsten Eigenschaften der Logarithmusfunktion (vgl. Fig. 1.2 und LB 6. KI. S. 225)! Zeige, dass für alle xl5 x2 e R die Funktionalgleichmig y(xi-x2) = y(xi) +y(x2) gilt (Aufg. 10), und über-lege, wie diese zur Defmition des Logarithmus ver-wendet werden kann! Die Logarithmusfunktion mit der Basis e heifit natürliche Logarithmusfanktion und wird mit lnx abgekürzt, die mit der Basis 10 wird BRIGGS'sche1 oder dekadische Logarithmusfuiiktion genannt und mit lgx bezeichnet. Nur für diese beiden Funktionen sind am Taschenrechner Tasten zur Berechnung vorhanden. Dennoch kann man mit Hilfe des folgenden Tricks die Werte der Logarithmusfunktion für jede beliebige andere zulássige Basis a berechnen, zB für die Logarithmusfunktion zur Basis 2, die man mit ldx (Logarithmus duális) abkürzt. 1 Henry BRIGGS (15617-1630), Matheraatikprofessor in London