Rekursive Funktionen [antikvár]

VORWORT Die Theorie der rekursiven Funktionen gehört eigentlich zur Zahlentheorie; hier handelt es sich ja sozusagen um die Funktioneniehre der Zahlentheorie. Der Stoff kann also das Interesse aller Mathematiker erw^ecken. Sogar für die Naturwissenschaften ist er nicht ohne Interesse. Durch den Begriff der rekursiven Funktion werden solche Funktionen abgegrenzt, deren Werte sich an allen konkreten Stellen effektiv berechnen lassen; und in den Naturwissenschaften sind gerade solche Funktionen brauchbar. Die Variablen der rekursiven Funktionen durchlaufen zwar nicht sämtliche reelle Zahlen, sondern nur die natürlichen, doch operiert sowohl die Wahrscheinlichkeitsrechnung, als auch die Quantentheorie mit Funktionen dieser Art; und unlängst begann die Anwendung der rekursiven Funktionen auch in der Analysis. Eben darum wurde dieses Buch so geschrieben, dass es auch von in der mathematischen Logik Unkundigen ohne Schwierigkeiten gelesen werden könne. Die Behandlung des Stoffes ist nicht formalistisch. Obwohl sich der axioma-tische Aufbau der rekursiven Zahlentheorie als ein Teil des Systems der ganzen Zahlentheorie^) oder für gewisse Untersuchungen selbständig^) als nützlich erwiesen hat, scheint jedoch sogar für die Forscher der mathematischen Grundlagen eine Behandlungsweise erwünschter, die sich auf die unmittelbare Einsicht beruft. Es hat ja einerseits das Auftauchen der mengentheoretischen Antinomien den Wunsch erweckt: möglichst weite Gebiete der Mathematik sich auf die keinen Widerspruch zulassende, unmittelbare Evidenz berufend aufzubauen; andererseits können in der Untersuchung der bedenklichen Gebiete zu Widerspruchsfreiheitsbeweisen nur solche, sich auf die unmittelbare Einsicht berufende Mittel benutzt werden. Das Buch trachtet überall auch den Weg zu zeigen, der zum angewandten Verfahren führt. Die Behandlungsweise ist vollständig elementar. Aus den berührten Gebieten (elementare Zahlentheorie, Analysis, Mengenlehre, besonders Theorie der transfiniten Ordnungszahlen) wird nur die Kenntnis der ersten Elemente vorausgesetzt. Statt komplizierte allgemeine Beweise zu geben, werden ') Hilbert—Bernays |1}. -) Curry |lj und [2J.