Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften 1925-1926 [antikvár]

Zur absoluten Geometrie. IL Mitteilung. In einer ersten Mitteilung1) — hier als A. zitiert — habe ich die Bedeutung der quadratische»] Form in Punkt-, Ebenen- oder Linienkoordinaten, die, gleich Null gesetzt, das absolute Gebilde einer Geometrie darstellt, als Maßfunktion für diese Geometrie hervorgehoben und dabei sog. Normalkoordinaten mit Erfolg benutzt. Auf Linien-, Flächen- und Volumenelemente und die durch Integration aus ihnen erzielten Ausdrücke bin ich damals nicht eingegangen. Da ja aber ebenso wie in dem absoluten Gebilde oder in der Maßfunktion auch in dem Linienelement die ganze Geometrie in nuce enthalten ist, so ist selbstverständlich letzteres durch jene mitbestimmt. Wie einfach sich Linien-, Flächen-, Volumenelement aus den in A. aufgestellten Formeln ergeben und unmittelbar durch die Maßfunktion ausdrücken lassen, wird hier gezeigt. Zum Schluß wird kurz dargetan, wie »auch bei Aufstellung der Bewegungsgleichungen in der absoluten Geometrie die Maßfunktion den Weg zeigt. Treten auch manche der gegebeneu Formeln hier und da in der Literatur schon auf 2), so scheint doch die Einheitlichkeit und zugleich die Einfachheit ihrer Herleitung aus wenigen Grundformeln in A. noch nicht beachtet worden zu sein. Alle Formeln sind so gestaltet, daß sie für e = 0 unmittelbar die der Euklidischen Geometrie liefern. Diese Sitz.-Ber. Math.-nat. Klasse. Abteilung A. Jahrg. 1924. 4. Abhandlung. Dort ist S. 3 letzte Zeile hinter „Ebenen" einzufügen: „, solange die Koordinaten der reelleil Elemente reell gewählt sind,". — S. 5 nach Formel (12) ist einzuschalten: „ein Punkt X und eine Ebene u, wenn % : u2 : u3 : tii = sx1 : ex2 : ex3 : îc4 oder x1:x2: xa : «4 = ux : ic2 : ?e3 : su^. — S. 6 in Formel (13) ist das erste Glied mit s zu multiplizieren und im zweiten Glied demgemäß der Faktor von s mit dem von s freien Glied zu vertauschen. — S. 6 Zeile vor Formel (15) ist hinter „wird" einzufügen: „in der ellijjtischen Geometrie". — S. 6 Zeile nach Formel (16) ist hinter „Dist." einzufügen: „In der hyperbolischen Geometrie tritt an Stelle des Sinus der hyperbolische Sinus." In der geometrischen Benennung der in A. behandelten, aus den Koordinaten von 2, 3 oder 4 Elementen gebildeten Ausdrücke schwankt die Literatur sehr. Siehe darüber schon D'Ovidio, Su varie questioni di metrica proiettiva. Atti'della R. Acc. delle Scienze di Torino. Vol. 28 (1892-93) S. 566ff. — Vgl. auch Ooolidge, The elements of non-euclidean geometry, Oxford 1909. S. 170 ff. Vgl. z. B. Darboux, Principes de Géométrie analytique, Paris 1917.