Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften 1936. (nem teljes évfolyam) [antikvár]

Zur Geometrie der konformen Abbildungen. Von R. Mehmke in Stuttgart. 1. Ist u eine analytische Funktion der Koordinaten x, y eines beweglichen Punktes in der Ebene, dann sollen im folgenden die von irgendeiner Stelle ausgehenden n Richtungen, in denen genommen die n-te Ableitung von u verschwindet, die zu dieser Stelle gehörigen Nullrichtungen n-ter Ordnung von u genannt werden. Ferner mag eine Kurve, bei der jede Tangente eine der Nullrichtungen /z-ter Ordnung hat, die ihrem Berührungspunkt zukommen, eine Nullkiirve n-ter Art heißen. 2. Liegt nun eine durch u —|— iv = / (x —|- iy) gegebene konforme Abbildung vor, so ist zwar der geometrische Sinn der CAUCHY-RiEMANNschen Gleichungen längst bekannt, aber für die LAPLACEsche Differentialgleichung, der u sowohl wie u genügen muß, scheint keine geometrische Deutung in der Literatur vorzukommen. Eine solche ist jedoch leicht anzugeben. Entspricht nämlich dy/dx = tg y einer Nullrichtung zweiter Ordnung, so hat man für tgcp die quadratische Gleichung ,iV d2u , _ d2u , , d2u , deren Wurzeln reell sind, weil wegen d2u d-u dy2 Sx2 ihre Diskriminante S2u d2u l d2u dx2 dy2 \ dx dy