Sur l'intégrale de Lebesgue comme l'opération inverse de la dérivation [antikvár]

SUR L'INTÉGRALE DE LEBESGUE COMME L'OPÉRATION INVERSE DE LA DÉRIVATION par Frédéric Riesz (Szeged). Dans cette bx-anche importante de l'Analyse moderne qu'a inaugurée M. Lebesgue et dont l'objet est l'étude approfondie des problemes concernant l'intégration et la dérivation, les recherches sur l'intégration précédaient celles sur la dérivation et cela dans l'ordre chronologique ainsi que dans l'ordre des paragraphes, les résultats les plus importants concernant la dérivée et les nombres dérivés se présentant comme des conséquences de la théorie de l'intégration. Ainsi par exemple, le théoreme d'apres lequel toute fonction monotone admet une dérivée presque partout, établi par M. Lebesgue, sous l'hypothese de la continuité, dans la premiere édition de son hvre fondamental sur la théorie de l'intégration n'y apparaît qu'a la fin du dernier chapitre, comme derniere conséquence de la théorie entiere, bien que ni l'idée de l'intégrale, ni celle de la mesure n'interviennent dans l'énoncé du théoreme. En effet, l'idée d'ensemble de mesure nulle qui y figure, cachée dans le terme «presque partout», ne dépend pas essentiellement de la théorie générale de la mesure et les propriétés principales de ces ensembles s'établissent en quelques mots. Depuis on a réussi non seulement a faire valoir cette indépendance en démontrant le théoreme de M. Lebesgue par des méthodes de plus en plus élémentaires mais en meme temps on attaquait avec succes, par les memes méthodes, les problemes voisins dont quelques-uns beaucoup plus intimidants, comme par exemple celui des rapports mutuels des quatre nombres dérivés d'une fonction entierement arbitraire. C'est grâce a ces recherches que, en 1932, 30 années apres le début de la théorie, au congres de Zurich, j'ai pu présenter les plus importants des résultats concernant la dérivation comme de simples corollaires du théoreme H. Lebesgue: Leçons sur V intégration et la recherche des fonctions primitives^ Paris, Gauthier-Villars, 1904. Pour la derniere de ces démonstrations ainsi que pour des indications bibliographiques cf. mes travaux : A monoton függvények differenciálhatóságáról, Matematikai és Fizikai Lapok, 38 (1931), pp. 125-131 ; Sur l'existence ele la dérivée des fonctions monotones et sur quelques problemes qui s'y ro.ttachent, Acta scientiarum mathematicarum, Szeged, 5 (1932), pp. 208-221.