Unvergängliche Geometrie [antikvár]

VORWORT Die übliche Behandlung der analytischen Geometrie mag dem Studierenden den Eindruck erwecken, die Geometrie sei bloß ein Teil der Algebra oder der Analysis. Es ist aber erfrischend zu bemerken, daß es einige wichtige Beispiele gibt (wie das in Kapitel 9 beschriebene Argand Diagramm), in denen geometrische Ideen als wesentliches Werkzeug zur Entwicklung dieser anderen Zweige der Mathematik verwendet werden. Daher soll dieses Buch den Leser zum geometrischen Denken ermuntern, er möge etwa einen Kegelschnitt eher als einen geometrischen Gegenstand anstatt als Gleichung zweiten Grades betrachten. Ein gemeinsamer Faden zieht sich durch das ganze Werk vom einfachen bis zum vorgerückten Thema, nämlich die Idee der Symmetrie oder der Transformationsgruppe. Dieser Gesichtspunkt wurde von Felix Klein in seinem Erlanger Programm von 1872 eingeführt, worin er betont, daß es neben der ebenen und räumlichen Euklidischen Geometrie manche anderen beachtenswerten Geometrien gibt. Zum Beipsiel gehören viele Sätze von Eukid zum weiteren Gebiet der affinen Geometrie, die nicht nur im gewöhnlichen Raum gilt, sondern auch in der Raum-Zeit Welt von Minkowski, die von Einstein so erfolgreich für seine spezielle Relativitätstheorie verwendet wurde. Die Geometrie ist nicht nur in der Algebra, in der Analysis und in der Kosmologie von Nutzen, sondern auch in der Kinematik und in der Kristallographie (wobei sie sich mit der Gruppentheorie verbindet) und selbst in der Botanik. Die Topologie (Kapitel 21) wurde so gründlich entwickelt, daß sie jetzt auf eigenen Füßen steht und nicht mehr als Teil der Geometrie betrachtet wird; aber sie ordnet sich in das Erlanger Programm ein, und bereits beim Beginn ihres Studiums stoßen wir auf das berühmte ungelöste Problem: Kann jede beliebige Landkarte mit vier Farben gefärbt werden ? Wir legen einerseits Gewicht auf die Idee der Transformationsgruppe und halten es für erwünscht, uns einige Zeit in der ungewöhnlichen Umgebung des affinen und des absoluten Raumes aufzuhalten. Als besondere Neuigkeiten erwähnen wir andererseits: Eine einfache Behandlung des Höhenschnittpunktes (§ 1.6); die Benützung von