Variationsrechnung [antikvár]

Der Gegenstand der Variationsrechnung Die Variationsrechnung ist einer der wichtigsten Zweige der mathe-matischen Analysis; sie untersucht die Methoden, nach denen die gröB-ten und kleinsten Werte von Funktionalen gefunden werden, d.h. von veránderlichen GröBen, die von der Wahl einer oder mehrerer Funk-tionen abhángen. Als Beispiel für ein Funktional kann die Lángé einer Kurve dienen. Wenn sich eine Kurve ándert, so ándert sich im all-gemeineri auch ihre Lángé. Folglich ist die Lángé eine veránderliche GröBe, die von der Wahl der Kurve, d.h. von der Wahl der Gleichung, die die Kurve definiert, abhángt oder aber von der Wahl zweier Funk-tionen der definierenden Gleichungen, wenn von einer Raumkurve die Rede ist. Beispiele für verschiedene Funktionale sind: ein Fláchen-stück, das von einer geschlossenen Kurve begrenzt wird, ein Raüm-stück, das irgendeine geschlossene Fláche einschlieBt, die Koordinaten des Schwerpunktes irgendeiner materiellen Kurve, einer Fláche oder eines Körpers, Trágheitsmomente, der Widerstand, der von einem Médium einemdarin bewegten Körper entgegengesetzt wird, usw. In allén genannten Fállen tritt eine derartige Abhángigkeit ein, sobald der Funktion (oder einem System von Funktionen) eine Zahl entspricht. Die Variationsrechnung ist nach der modernen Auffassung ein Teil der Funktionalanalysis, und zwar ein Teil, der, geschichtlich gesehen, sich wesentlich írüher als die anderen entwickelt hatte. Seit langer Zeit schon stieBen die Mathematiker auf Aufgaben, die gröBten oder kleinsten Werte von Funktionalen zu finden (sog. Variationsauf-gaben). Einige davon konnten sogar gelöst werden. Jedoch fand nur das Problem der Brachistochrone die allgemeine Beachtung der Wissenschaftler. Im Jahre 1696 warf Johann Bernoiilli in der Zeitschrift „Acta eruditorum" das folgende Problem auf: Unter allén Kurven, die zwei gegebene, nicht auf einer senkrechten Geraden liegende Punkte A