Analízis 3/5-6. [antikvár]

5. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 5.1 A differenciálhányados fogalma. A deriváltfüggvény Ebben a fejezetben a differenciálhányadossal és annak legfontosabb tulajdonságaival foglalkozunk. A differenciálhányados a matematikai analízis egyik központi jelentőségű fogalma. Szerepe mind a matematika, mind más tudományok területén (fizika, kémia, Közgazdaságtudományi, műszaki tudományok, biometria stb.) alapvető. Segítségével számos elméleti és gyakorlati probléma megoldása válik lehetővé. A differenciálhatóságot általában a függvény értelmezési tartományának belső pontjaiban vizsgáljuk. Tekintsük az f: f(x) = Ví függvényt. Mit válaszolnánk arra a kérdésre, hogy az / függvény grafikonjának van-e a (8;2) pontban érintője? Ez a kérdés elég természetes, ha görbevonalakat vizsgálunk, de megakadunk, ha válaszolni próbálunk rá, mert nem tudjuk, hogy mit is értsünk az érintőn. A kör esetén tudjuk, hogy mit tekintsünk érintőnek: azt az egyenest nevezzük a kör érintőjének, amely a kör síkjában van és a körrel pontosan egy közös pontja van (5.1.a ábra) A parabolának egy pontban vett érintőjét hasonlóan értelmezzük : azt az egyenest nevezzük a parabola érintőjének, amely a parabola Az a követelmény azonban, hogy az érintőnek egy közös pontja legyen a görbével általában nem alkalmas az érintő definíciójára. Például az f:fix) = |x| függvény grafikonjának a (0;0) pontjában végtelen sok különböző egyenes halad át, amelynek a görbével egyetlen közös pontjuk van (5.1.c ábra). Ugyanakkor az f:j[x)=sm x függvény grafikonjának van olyan (az x tengellyel párhuzamos) érintője, amelynek a görbével végtelen sok közös pontja van (5.1.d ábra).