Kvantitatív technikák II. [antikvár]

integrálszámítás Az elözö fejezetben megismerkedtünk a derivált fogalmával, melynek segítségével számszerűsíteni tudtunk egy folyamatban bekövetkező változást. Felvetődik a kérdés, hogy csupán ezen változás ismeretében következtethetünk-e valamilyen módon magára a folyamatra. A kérdésre választ a deriválás fordított műveletén, az ún. integráláson keresztül kapunk, ez lesz a tárgya jelen fejezetünknek. Az integrálszámítás kapcsán egy érdekes észrevételt is teszünk: ahogy a deriváltnak szemléletes jelentést tudtunk adni (a görbéhez húzott érintő meredeksége), ugyanúgy kötődik az integrálszámítás is geometriai alkalmazásokhoz, kiterjesztve ezáltal az integrálás jelentőségét a fent említett fordított probléma megoldásán túlra is. 1. A HATÁROZ.4TLAN INTEGRÁL 1.1. A PRlMtTÍV FÜGGVÉNY Egy termék előállítási költségének változása a mindenkori előállított mennyiség kétszerese. Milyen a termék költségfüggvénye? Miről van szó a feladatban? Ismerjük a költségfüggvény változását leíró függvényt, azaz a határköltség függvényt': C{q) = 2q Ennek alapján szeretnénk felírni magát a költségtiiggvényt (azaz C(q)-\.). A fentihez hasonló feladatokban külön elnevezést adunk annak a függvénynek, amelynek deriváltját ismerjük, és amelyet annak alapján kívánunk meghatározni: Legyenek/és F függvények ugyanazon (a, b) nyílt intervallumon értelmezett valós függvények. Ha az / függvény az F függvény deriváltja, akkor az F függvényt az / függvény primitív függvényének (vagy antideriváltjának) nevezzük. Megjegyezzük, hogy a fenti jelölés az integrálszámításban általános: a derivált függvényt kisbetűvel, a primitív függvényt ugyanazzal a nagybetűvel szoktuk megadni. A primitív függvény deriválásával jutunk tehát az eredeti függvényhez: F\x) = f(x) Mit mondhatunk tehát a fenti feladatban a költségfüggvényről? Gondolkozzunk visszafelé: olyan függvényt kell keresnünk, amelynek deriváltja 2q. Ez egy elsőfokú függvény, amihez egy megfelelő másodfokú függvény deriválásával jutunk. Ilyen függvény például a C{q) = q függvény, de ennek tetszőleges konstanssal való eltolása is ugyanarra a derivált függvényre vezet (mivelhogy a konstans deriváltja nulla). A primitív függvény tehát nem egyértelmű, azaz a derivált ismerete a függvény konstans tagját nem határozza meg. Egy/függvény primitív függvényeinek összességét az/függvény határozatlan integráljának nevezzük. ;í . ' a közgazdaságtan ezt a függvényt a „határ" szó angol megfelelője („marginal") alapján MC-vel ( mareinal cost") jelöli. ''