Algebra [antikvár]

I. fejezet C SOPORT E LMÉ LET 1. §. Csoportaxioinák és következményeik Már az eddigi tanulmányaink során is foglalkoztimk olyan halmazokkal, amelyeken algebrai müveletek voltak értelmezve. Például a racionális számok vagy az algebrai számok körében értelmezve van az összeadás, a szorzás művelete. De már vizsgáltunk olyan halmazokat is, amelyeken miiveletek voltak értelmezve és amelyek nem számhalmazok voltak. PL a mod m vett maradékosztályok vagy a tenzorok, A továbbiakban (I. fejezetben) olyan halmazokkal fogunk foglalkozni, amelyeken egy művelet van értelmezve, ezen műveletre vonatkozóan négy tulajdonság teljesülését fogjuk megkövetelni. Ezeket a halmazokat csoportoknak fogjuk nevezni. A hahnaz elemeit kis latin betűkkel, a részhalmazalt pedig nagy betűkkel fogjuk jelölni. /l.I,/ definíció. Jól meghatározott elemek egy nem üres G halmazát csoportnál nevezzük, ha érvényesek rá a következő axiómák: I. G két tetszőlegesen választott meghatározott sorrendben vett eleméhez legyen egyértelműen hozzárendelve G egy tőlük nem feltétlenül különböző eleme. /G rendezett elempárjaihoz való ezen hozzárendelést csoportszorzásnak, vagy szorzásnak nevezzük, G a és b eleméhez hozzárendelt elemet a és b szorzatának nevezzük és a.b-vel jelöljük./ n. G tetszőleges a, b, c elemére legyen érvényes a következő egyenlőség; /l.l/ (a.b). 0 = a . (b . o) /A müvelet legyen asszociatív./ Létezzék G-ben legalább egy e elem, melyre a következő két tulajdonság teljesül: /l, 2/ in. e. g = g. bagaG tetszőleges eleme, IV. G tetszőleges g eleméhez létezzék G-ben legalább egy g' elem, melyre /i.n/ s'g = o - 3 -