Hálóelmélet [antikvár]

I. Előszó A hálóelmélet gyökerei a XIX. század végére nyúlnak vissza. A hálók fogalmát (más elnevezést használva) Richárd Dedekind alkotta meg gyűrűk idáljainak vizsgálatából kiindulva. Az általa kutatott és megoldott kérdések között szerepelt az alábbi is: egy Abel-csoport három adott részcsoportjából kiindulva közös részek és összegek képzésével legfeljebb hány további részcsoportot kaphatunk? A Boole-algebrák (amelyek fogalmát az ítéletkalkulussal kapcsolatban George Boole alkotta meg a XIX. század első felében) axiómarendszerének vizsgálata közben Charles S. Pierce és Emst Schröder szintén eljutott a hálók fogalmáig. Bár az említett matematikusok és Edward V. Huntington korai vizsgálatai szép és korántsem trivális eredményekhez vezettek, mindez mégsem váltotta ki a kortársak elismerését. Pl. Dedekind vizsgálatait túlságosan absztraktnak és öncélúnak tartották, és többen — mint pl. Kronecker is — kifejezetten helytelenítették. így a hálóelmélet említett csírái mintegy három évtizedre elhaltak, feledésbe merültek. A XX. század harmincas éveinek közepén Garrett Birkhoff cikkek egész sorával kezdte meg a hálóelmélet általános kiépítését. Műveiből kiderült, hogy a hálóelmélet a csoportelmélethez hasonlóan egységesítő szerepet tölt be a matematikában. Egykét éven belül Neumann János, Kari Menger, Oystein Ore és mások is csatlakoztak a kutatásokhoz. Birkhoff— akinek a hálóelmélet felélesztésén túl az univerzális algebra életre hívása is érdeme — és Neumann kétségtelen tekintélye révén a hálóelmélet az algebra önálló ágaként nyert polgárjogot; Birkhoff [4] könyvének első, 1940-es kiadása már ezt az új állapotot tükrözi. A hálóelmélet arculatának formálásába Neumann János mellett további magyar matematikusok is bekapcsolódtak; előbb Szász Gábor, Gratzer György és Schmidt Tamás, később Huhn András és Fried Ervin, hogy csak a legismertebbeket említsük. Szász, ill. Gratzer könyvei [26, 18, 19] a hálóelmélet fejlődésének egy-egy mérföldkövét jelentik. A hálóelmélet, valamint a vele rokon részbenrendezett halmazok elmélete a matematika napjainkban is intenzíven művelt, fejlődő ága. A hálóelméletet elsősorban az univerzális algebrában és egyes geometriai vizsgálatokban alkalmazzák, de olyan matematikától távol eső jelenségek tanulmányozására is alkalmas, mint pl. a kvantummechanika vagy az emberi fogalmak kialakulása. Emellett a hálóelmélet a matematikán belül számos fogalom jobb megértésének és az ezen fogalmakkal való rutin tevékenységeknek egységes nyelve, ill. eszköze. Pl. a logikai áramkörök tervezésével kapcsolatos elméletet is hálók és Boole-algebrák segítségével érdemes tárgyalni (1. pl. 17]).