Matematika I. [antikvár]

VALÓS SZÁMOK Természetes számok. Teljes indukció. Az N^ {1,2,3, } halmaz elemeit természetes számoknak, ezeknek a jelzett sorrendben történő felsorolását számlálásnak nevezzük. Mind a természetes szám fogalmát, mind a számlálás fogalmát a tapasztalat alapján alapfogalonmak tekin^ük, amelyeket nem definiálunk. Ha ugyanis definiálni akarnánk őket, akkor a definícióban még egyszerűbb fogalmakat kellene használnunk, amiket pedig nehéz lenne taláhii. Annak érdekében, hogy a természetes számokról alkotott fogalmunk ne térhessen el a mások által kialakított fogalomtól, célszerű alapvető tulajdonságaikat axiómákban rögziteni, melyeket bevezetőjükről Peano axiómáknak nevezünk. Peano axiómák i i 1./ Az 1 természetes szám. i 2./ Minden «természetes számnak van egyetlen rákövetkezője és az is természetes szám, melyet «'-vei jelölünk. 3./ Az 1 nem rákövetkezője egyetlen természetes számnak sem. 4./ Csak egyenlő természetes számoknak lehetnek egyenlő rákövetkezői, azaz ha n' = m \ akkorn = m. 5./ A teljes indukció axiómá]a. Tegyük fel, hogy A crN és 1./ leA ÍJ "^n e A eseténn' e A . Ekkori = N. Az ötödik axióma azt fejezi ki, hogy az 1-ből kiindulva számlálással bármely természetes számhoz eljuthatunk. Ezt az axiómát fel lehet használni A''-re vonatkozó állitások bizonyítására is. Ennek az elvét adja meg a következő tétel: r ! !