Matematika I. [antikvár]

VALÓS SZÁMOK Természetes számok. Teljes indukció. Az N= {1,2, 3, } halmaz elemeit természetes számokadk, ezeknek a jelzett sorrendben történő felsorolását számlálásnak nevezzük. Mind a természetes szám fogalmát, mind a számlálás fogalmát a tapasztalat alapján alapfogalomnak tekintjük, amelyeket nem definiálunk. Ha ugyanis definiálni akamánk őket, akkor a definícióban még egyszerűbb fogahnakat kellene használnunk, amiket pedig nehéz lenne találni. Annak érdekében, hogy a természetes számokról alkotott fogalmunk ne térhessen el a mások által kialakított fogalomtól, célszerű alapvető tulajdonságaikat axiómákban rögziteni, melyeket bevezetőjükről Peano axiómákaak nevezünk. Peano axiómák 1./ Az 1 természetes szám. 2./ Minden«természetes számnak van egyetlen rákövetkezője és az is természetes szám, melyet n'-vel jelölünk. 3./ Az 1 nem rákövetkezője egyetlen természetes számnak sem. 4./ Csak egyenlő természetes számoknak lehetnek egyenlő rákövetkezői, azaz ha n' = m', akkorn = m. 5./ A teljes indukció axiómája. Tegyük fel, hogy A czN és 1./ 1 6^1 ÍJ \/n e A eseténn' e A . Ekkor v4 =Af. Az ötödik axióma azt fejezi ki, hogy az 1-ből kiindulva számlálással bármely természetes számhoz eljuthatunk. Ezt az axiómát fel lehet hasznáhii N-re vonatkozó állitások bizonyítására is. Ennek az elvét adja meg a következő tétel: