Valós függvények és függvénysorok [antikvár]

ELŐSZÓ E könyv, egyetemi tankönyvnek készülvén, tárgyválasztásában elsősorban az érvényben levő egyetemi programhoz igazodik. Tekintettel azonban a függvényelmélet állandóan növekvő jelentőségére matematikusképzésünkben, egyes olyan kérdéseket is tárgyal, amelyek a programban nem foglaltatnak benne, de ahhoz szorosan kapcsolódnak: pl. az általános függvény derivált-.'izámai, absztrakt halmazokon való Lebesgue-integrál stb. Az absztrakt halmazokon való Lebesgue-integrál tárgyalását a valószinüségszámitásban való jelentősége is indokolja. Az első két fefezet a halmazok legegyszerűbb számossági kérdéseiről, az n-dimenziós euklidesi tér topológiáfának elemeiről és a folytonos függvények tulafdonságairól szól. Az ún. „leíró halmaz- és függvényelmélet" tárgyalásába nem megy mélyebben bele a könyv, a Baire-féle függvényosztályozást is éppen csak érinti. Az e fejezetek anyagában fobban elmélyülni kívánó olvasó számára rendelkezésre áll P. Sz. Alekszandrov: „Bevezetés a halmazok és függvények általános elméletébe" című műve (Budapest, 1952). A differenciálás és integrálás modern elméletének felépítésében a könyv Riesz Frigyes módszerét követi: az elmélet élére a monoton függvények differenciálhatóságára vonatkozó Lebesgue-tétel Riesz-féle bizonyítását állítfa, a Lebesgue-féle integrálhoz pedig közvetlenül, a mértékelmélet közbeiktatása nélkül vezet el. Ezek a fefezetek (III—VIL) fó részét felölelik annak az anyagnak, amelyet Riesz Frigyes és a szerző francia nyelvű műve első részében tárgyal [F. Riesz—B. Sz.-Nagy: „Leçons d'Analyse Fonctionnelle" (Budapest, 1952 és 1953)]. E mű első része további tanulmányok alapfául szolgálhat néhány olyan kérdéskörben, amelynek tárgyalása a felen tankönyv kereteit meghaladta (pl. többdimenziós intervallum-függvények differenciálása, az f függvénytér és lineáris operációi stb.). Bár a könyv a Lebesgue-féle integrált nem Lebesgue eredeti módszerével épili fel, szól a könyv erről a módszerről is, és bebizonyítja a két módszer ekvivalens voltát. Az eredeti Lebesgue-féle módszer részletes kifejtését megtalálfa az olvasó pl. Veress Pál: „Valós függvények" c. könyvében (Budapest, 1934). A speciális ortogonális függvényrendszerekről szóló részhez, különösen ami az ortogonális polinomrendszereket illeti, további tanulmány alapjául