Matematikai analízis feladatgyűjtemény II. [antikvár]

1. fejezet 1.1. Az állítás a definíciók alapján nyilvánveiló. 1.2. Csak a disztributív törvényeket bizonyítjuk be. Az elmaradó bizonyítások elvégzését különösen eizoknEik az Olveisókníik ajánljuk, akik kevésbé járatosak a matematikai logikában. (3.) Az AU{BnC) = {A\jB)n{AUC) egyenlőség az alábbi kijelentések páronkénti ekviveilenciájából következik: x G A U (5 fl C); x E A vagy X e B nC', X e A vagy {x e B és X e cy, {x e A vagy x e B) és {x e A vagy a; e C); a; e A U 5 és X G A U C; a; e (A U J9) n (A U C). A másik egyenlőség is hasonlóan igazolható, de bebizonyítható az imént bizonyított egyenlőség és a de Morgan-í^ azonosságok alapján is (lásd az 1.4. feladatot). Mivel (a n (j9 u c))''=a'= u (5 u cy = A^u (B' n c") = (a'=u B'') n {A" u C')= = (a n fi)'^ n (a n c)= = ((a n 5) u (a n c))^ így a n (5 u c) = (a n 5) u (a n C). 1.3. Az áUítás az 1.1. feladat feUiasználásáveil következik abból, hogy az üres h2ilmaz minden halmsiznak részheilmaza. 1.4. (1.) Az áUítás a defim'ció alapján nyilvánvcdó. (2.) Az áUítás abból következik, hogy az alábbi kijelentések páronként ekvivalensek: x 6 (A U x ^ AU B-, x ^ A és x ^ B; x e A" és x e B"-, X G n ahol mindenütt x L X. (3.) (2.)-höz hasonlózin bizonyítható, de belátható (1.) és (2.) felhasználásával is. (4.) Az állítás az alábbi kijelentések páronkénti ekvivalenciájából következik: a c 5; a n 5 = a; (a n B)^ = a=; A'ö B" = A"-, B" c a^ 1.5. Az első két áUítás nyilvánVcdó. (3.) A feladat (1.) része, valcimint az 1.2. feladatbein szereplő egyenlőségek és a de Morgan-féle azonosságok feUiasználásáveJ a \ (a n 5) = a n (a n 5)'= = a n (a= u b'^) = (a n A'=) u (a n B^) = = 0u(a n B^) = ADB^ = A\B.