Matematikai Lapok 1972/1-2. [antikvár]

EGY ZÁRÓDÁSI TÉTELFEJES TÓTH LÁSZLÓRapcsák Andrásnak 60. születésnapjáraHelyezzünk egy sima asztallapra bizonyos számú, mondjuk n, tízfillérest egy konvex gyűrűbe, vagyis úgy, hogy a tízfilléresek középpontjai egy konvex n-szög csúcsait alkossák és a szomszédos csúcsokhoz tartozó tízfilléresek érintsék egymást. Illesszünk a gyűrűhöz kívülről egy további tízfillérest, amely a gyűrű legalább egy körét érinti, majd egy újabb tízfillérest, amely mind az előzőt, mind a gyűrűt érinti, és így tovább. Azt fogjuk tapasztalni, hogy az így szerkesztett körlánc mindig egy w+6 tagú konvex gyűrűvé zárul.Ez a kísérlet, valamint a záródás szükségszerű bekövekezésének általánosabb feltételek mellett való alábbi bizonyítása hasznos lehet az-iskolai oktatásban is.Konvex lemezeken egy zárt konvex lemez eltolt példányait értjük. Ha két lemez metszete egy pont vagy egy szakasz, akkor azt mondjuk, hogy a lemezek érintik egymást. Kiválasztunk az, egyik lemezen egy pontot, s tekintjük az eltolásban ennek a pontnak megfelelő pontot a többi lemezen. Ezeket a pontokat' homológ pontoknak mondjuk. Helyezzünk el n lemezt úgy, hogy a homológ pontok egy (tágabb értelemben) konvex -szög csúcsaiba essenek és a szomszédos csúcsokhoz tartozó lemezek érintsék egymást. A lemezek most egy konvex gyűrűt "alkotnak. A gyűrűt érintő lemezen olyan lemezt értünk, amely á gyűrű legalább egy lemezét érinti, de a gyűrű egy lemezével sincs közös belső pontja. Induljunk ki a gyűrűt kívülről érintő-egy lemezből, rakjunk mellé egy második leméZt, amely a gyűrűt és az első lemezt is érinti úgy, hogy az első lemez, a második lemez és a gyűrű valamely lemeze pozitív forgásirányban következzen egymás után. Rakjunk a második lemezhez az előbb leírt módon egy harmadikat, és így tovább. Ilyen módon a gyűrűre fekvő láncot kapunk. Ha a lánc záródik, vagyis a lánc valahányádik szemé érinti az elsőt, anélkül, hogy a lánc két tagja egymásba nyúlna, akkor a gyűrűre fekvő gyűrűről beszélünk.A lánc szerkesztése az első lemez rögzítése esetén sem mindig egyértelmű. De a lánc záródása az első lemez tetszés szerinti választása mellett is mindig biztosítható. Ezt fejezi ki a következőTétel. Egy konvex k lemez n eltolt példányából képzett konvex g gyűrűhöz mindig ,szerkeszthető k n+6 eltolt példányából egy olyan g-re fekvő gyűrű, amelyiknek egyik lemeze tetszés szerinti módon megadható.A bizonyítás előtt jegyezzük meg, hogy ha a lánc első lemezét megadjuk, akkor az egész lánc konstrukciója biztosan egyértelmű, ha a lemezek szigorúan konvexek. Később be fogjuk bizonyítani, hogy már egy sokkal gyengébb feltétel is biztosítja az egyértelműséget. A lemez egy határszakaszéin a lemez és valamely támaszegyene.-sének metszetét, egy /tórján pedig a lemez két határpontját összekötő szakaszt9