Középiskolai matematikai lapok 1989/1-10. [antikvár]

Néhány bűvös négyzet a XX. századból 1 Bizonyára sokan ismerik az 1—25 számokból álló bűvös négyzet gyors felírására alkalmas sziámi szabályt (másképpen kínai vagy indus szabályt), Délkelet-Ázsia matematikusainak még —— : az időszámításunk előtti időkben talált tetszetős eredményét. Mai szemmel az tartható benne bűvösnek — kifejezőbben: rejtélyesnek —, hogy felismerhető számtani művelet végzése nélkül olyanra sikerül az elrendezés, hogy minden sor, oszlop, átló összege ugyanannyi, az 1+2 + +25=325 összeg 1/5 része, 65. Ez a négyzet bűvös állandója. — Meg is adjuk az árát ennek az igazi munka nélkül elért sikernek! Az elrendezést az 1. ábrán idézem, bár — őszintén szólva, személy szerint — mindig görbe szemmel nézek rá. Ennek a „potya" receptnek a létezése kisiklatja a probléma helyes értékelését, bénítja a fejlődést. Egészségtelen kultusz is épült rá (ritmus stb.). Miatta passzív a kérdéssel szemben a közfelfogás. Olyan egyedülvalónak, utánozhatatlannak vélik sokan, mint a Kínai Nagy Fal vagy a Szaturnusz gyűrűje. Pedig félmilliónál is több megoldást lehetne fölírni az 5 X 5-ös problémára néhány nagyobb elv és sok kisebb fogás vegyes alkalmazásával! — Kivétel is és jellemző is az az eset, hogy pár éve valaki a Bolyai Társulattól arról kért tájékoztatást, hogyan kaphatna szabadalmat „találmányára", egy más, 5 X 5-ös elrendezésre. Csak néhány további példány láttán húzta elő az illető a zsebéből „titkát", ami azután rendszeres gondolkodásról tett bizonyságot. Rejtélyek nélkül. Nagyobbítással a sziámi szabály révén minden páratlan n rendszámhoz fölírható egy bűvös négyzet az 1, 2, 3, , n2 számokból, a páros rendszámokra viszont nincs ilyen egyszerű recept a „nagy bűvös szakácskönyvben". A párosokhoz újabb elvek alkalmazásával szerkesztettek bűvös négyzeteket. (Természetesen a régi „regulák" eredményeit is meg lehet magyarázni, miért bűvösek.) így alakult ki a bűvös négyzet-problémának egy „nehézség szerinti" osztályozása: legkönnyebb a páratlanok esete, a párosok közül könnyebbek az n=4k alakú rendszámok, végül legnehezebb az n=4k+2 alakú („egyszerűen páros") rendszámok esete, aminek legkisebb képviselője a 6-os. Bár valami van ebben, mégis elég sekély szempont ez, hiszen mindenki azt tartja könnyűnek, amit már tud — és megfordítva. — Egyébként 300 éve múlt már, hogy Frénicle de Bessy francia kutató összeállította a 4x4-es megoldások teljes atlaszát, 880 elrendezést, a szimmetrikus állásokat csak egyszer számítva. Pontos létszám csak erre, és az n=3 esetre ismeretes; ez utóbbira ez a szám 1 (2. ábra), és ez — a négyzet geometriai szimmetriáinak megfelelően — 8 állásban szemlélhető, tükrözések és forgatások nyomán. 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 13 25 2 9 1. ábra 8 1 6 3 5 7 4 9 2 2. ábra 1